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GÖDELS THEOREM  
ist ein 1931 von dem österreichischen Logiker Kurt Gödel (Link und Link ) durchgeführter Beweis, der die Begrenztheit der Logik demonstriert (vgl. »Lexikon der Zukunft« unter Link ). Gödel bewies, dass kein komplexes mathematisches oder logisches System zugleich vollständig und konsistent ist (Link ). Vielmehr wird es immer Aussagen enthalten, deren Wahrheitswert, vom System (Link , Link und Link ) selbst ausgehend, nicht entscheidbar ist.

Dieses Theorem wird als der wichtigste Beweis des 20. Jahrhunderts bezeichnet und widerlegt sowohl den Versuch, die Mathematik allein aus der Logik erschließen zu wollen (v.a. Russell), wie auch den, die gesamte Mathematik mit formalen Methoden zu untersuchen (Hilbert). Vereinfacht gesagt verbleibt immer das Im Spiegel der Möglichkeiten angesprochene Lügenparadoxon (\"Ich sage Falsches\": Aus Wahrem folgt Falsches, aus Falschem folgt Wahres), das nicht zu lösen ist, so lange das System (mit seinen Regeln) Aussagen über sich selbst macht (zur Vertiefung Link ). Mathematisch folgt daraus, dass jedes in sich schlüssige formale System, das so mächtig ist, dass es die natürlichen Zahlen enthält, immer wahre Aussagen enthält, deren Wahrheitswert jedoch durch das System selbst nicht bewiesen werden kann. Man kann prinzipiell nur – anlog zum Problem der Unschärferelation in der Atomphysik (mit der technischen Nutzung bei Quantencomputern: Link und ergänzend Link mit Link sowie für Mathematiker Link ) – über das System aussagen, dass es vollständig ist oder konsistent oder keines von beidem. Vereinfacht: Enthält das System alle schlüssigen Aussagen, wird es auch einige falsche enthalten und damit inkonsistent sein. Beschränkt es sich auf eindeutig wahre Aussagen, so wird es wahre Aussagen geben, die es nicht enthält – und damit unvollständig sein.

Turing zeigte mit seinem Halte-Problem, dass Gödels Theorem für die Informatik bzw. Turing-Maschinen oder Computer gilt, und Douglas Hofstadter brachte aus dem vermeintlichen Problem einen neuen Erklärungsansatz hervor: Er sieht in den Schleifen der auf sich selbst hinweisenden Gödel-Sätze so etwas wie den Ursprung der Kreativität. In diesem Sinn dreht sich auch eine Möbius-Schleife durch die philosophischen Abenteuer bis hin zu den ähnlich gearteten Superstrings. Immer wieder steht dieses dort nicht genannte Theorem im Hintergrund, denn es hat aus dem platonischen Tempel der reinen und ewigen Wahrheiten, der dereinst die Mathematik war, ein aristotelisches Netzwerk verschiedener Systeme und Aussagen gemacht, die man nicht immer problemlos verrechnen kann, die aber das Netz allen Werdens sind.

Der israelische Wissenschaftler Eshel Ben-Jacob leitet u.a. mit Hilfe des Gödel-Theorems ein neues Bild der Evolution ab, das auf Kreativität und aktiver Vernetzung beruht (»Die Klugheit der Bakterien« unter Link ). Ich kann dem weit mehr abgewinnen als der idealistischen, mechanischen, dualistischen und statischen Sicht, die leider noch immer vorherrscht und zu der Im Spiegel der Möglichkeiten Alternativen gezeigt werden. Warum verdrängt der Wissenschafts- und Technikmensch die Beweisführung, dass die Wissenschaft mit ihren Mitteln ihren eigenen Wahrheitsanspruch nicht beweisen kann, einschließlich dem Teilaspekt, dass unser Gehirn sich selbst und damit das Denken und die Erkenntnis nie vollständig erklären wird? – Etwa, weil dieses System sich imunisieren und selbst erhalten will? Jede Festschreibung aber ignoriert die Weite des Möglichkeitsraums, die es zu erkunden und zu schaffen gilt.

Wie gut, dass es noch Dichter gibt wie Hans Magnus Enzensberger (Porträt unter Link , Texte im Netz unter Link , kommentierte Linkliste von Ulrich Goerdten unter Link ), dessen »Hommage à Gödel« man unter Link findet:

Münchhausens Theorem, Pferd, Sumpf und Schopf,
ist bezaubernd, aber vergiß nicht:
Münchhausen war ein Lügner.
Gödels Theorem wirkt auf den ersten Blick
etwas unscheinbar, doch bedenk:
Gödel hat recht.
»In jedem genügend reichhaltigen System
lassen sich Sätze formulieren,
die innerhalb des Systems
weder beweis- noch widerlegbar sind,
es sei denn das System
wäre selber inkonsistent.«
Du kannst deine eigene Sprache
in deiner eingenen Sprache beschreiben:
aber nicht ganz.
Du kannst dein eignes Gehirn
mit deinem eignen Gehirn erforschen:
aber nicht ganz.
Usw.
Um sich zu rechtfertigen,
muß jedes denkbare System
sich transzendieren,
d.h. zerstören.
»Genügend reichhaltig« oder nicht:
Widerspruchsfreiheit
ist eine Mangelerscheinung
oder ein Widerspruch.
(Gewissheit = Inkonsistenz.)
Jeder denkbare Reiter,
also auch Münchhausen,
also auch du bist ein Subsystem
eines genügend reichhaltigen Sumpfes.
Und ein Subsystem dieses Subsystems
ist der eigene Schopf,
dieses Hebezeug
für Reformisten und Lügner.
In jedem genügend reichhaltigen System,
also auch in diesem Sumpf hier,
lassen sich Sätze formulieren,
die innerhalb des Systems
weder beweis- noch widerlegbar sind.
Diese Sätze nimm in die Hand
und zieh!



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