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ACHILLES und die SCHILDKRÖTE  
»Achilles (ein griechischer Held, der Schnellfüßigste aller Sterblichen) und eine Schildkröte stehen zusammen in greller Sonne auf einer staubigen Piste. Am anderen Ende der Piste weht an einem hohen Mast eine große rechteckige Fahne. Die Fahne ist ganz rot, nur ein ringförmiges Loch, durch das man den Himmel sehen kann, wurde aus ihr herausgeschnitten.

Achilles: Was ist denn das für eine seltsame Fahne am andern Ende der Piste? Irgendwie erinnert sie mich an ein Bild meines Lieblingskünstlers M.C. Escher.
Schildkröte: Das ist Zenos Fahne.
Achilles: Wäre es möglich, daß das Loch den Löchern in einem Möbiusstreifen ähnelt, den Escher einmal gezeichnet hat? Etwas stimmt mit dieser Fahne nicht, das merke ich schon.
Schildkröte: Der ausgeschnittene Ring hat die Form der Ziffer für Null, Zenos Lieblingszahl.
Achilles: Aber die Null ist ja noch gar nicht erfunden worden: Sie wird erst in ein paar Jahrtausenden von einem indischen Mathematiker erfunden werden. Und so, Herr S., beweise ich, daß eine solche Fahne Unmöglich ist.
Schildkröte: Ihre Gedankenführung leuchtet ein, Achilles, und ich muß zugeben, daß eine solche Fahne tatsächlich Unmöglich ist. Aber sie ist trotzdem schön, nicht?
Achilles: Oh ja, an ihrer Schönheit besteht kein Zweifel.
Schildkröte: Ich frage mich, ob ihre Schönheit mit ihrer Unmöglichkeit zusammenhängt. Ich weiß es nicht. Ich habe nie die Zeit gehabt, Schönheit zu analysieren. Es ist eine Große Essenz, und ich scheine für Große Essenzen nie Zeit zu haben.
Achilles: Apropos Essenzen, Herr S., haben Sie jemals über den Zweck des Lebens nachgedacht?
Schildkröte: Um Gottes willen, nein!
Achilles: Haben Sie sich denn niemals Gedanken gemacht, warum wir hier sind und wer uns erfunden hat?
Schildkröte: Oh, das ist etwas ganz anderes. Wir sind Erfindungen Zenos, wie Sie bald merken werden, und wir sind hier, um einen Wettlauf durchzufahren.
Achilles: Ein Wettlauf! Unerhört! Ich, der Schnellfüßigste aller Sterblichen, gegen Sie, den Schwerfälligsten aller Schwerfälligen! Ein solcher Wettlauf ist absolut sinnlos.
Schildkröte: Sie könnten mir einen Vorsprung geben.
Achilles: Der müßte aber groß sein.
Schildkröte: Ich habe nichts dagegen.
Achilles: Aber früher oder später werde ich Sie einholen – wahrscheinlich früher.
Schildkröte: Nicht, wenn die Dinge nach Zenos Paradoxie verlaufen, oh nein. Zeno hofft, anhand unseres Wettrennens zeigen zu können, daß Motion Unmöglich ist. Nach Zeno scheint Bewegung nur im Geiste möglich. Tatsächlich: Motion Ist Immer Illusion. Das beweist er recht elegant.
Achilles: Ach ja, ich erinnere mich nun: der berühmte Zen-Köan über den Zen-Meister Zeno. Wie Sie sagen, es ist sehr einfach.
Schildkröte: Zen-Köan? Zen-Meister? Was meinen Sie?
Achilles: Er lautet wie folgt: Zwei Mönche stritten wegen einer Fahne. Der eine sagte: 'Die Fahne bewegt sich.' Der andere sagte: 'Der Wind bewegt sich.' Der sechste Patriarch, Zeno, kam gerade des Wegs. Er sagte ihnen: 'Nicht der Wind, nicht die Fahne, der Geist bewegt sich.'
Schildkröte: Ich fürchte, Sie sind etwas durcheinander, Achilles. Zeno ist kein Zen-Meister, alles andere: er ist vielmehr ein griechischer Philosoph aus der Stadt Elea (die in der Mitte zwischen den Punkten A und B liegt). In einigen Jahrhunderten wird er wegen seiner Paradoxien der Bewegung berühmt sein. In einer dieser Paradoxien wird eben dieser Wettlauf zwischen Ihnen und mir eine zentrale Rolle spielen.
Achilles: Ich bin ganz verwirrt. Ich erinnere mich lebhaft daran, wie ich die Namen der sechs Zen-Patriarchen unablässig wiederholte, und ich sagte immer: 'Der sechste Patriarch is' Zeno, der sechste Patriarch is' Zeno ...' (Plötzlich erhebt sich ein laues Lüftchen.) Oh, schauen Sie, Herr Schildkröte – wie die Fahne weht! Wie ich das liebe, zuzuschauen, wie das weiche Tuch sich kräuselt. Und auch der herausgeschnittene Ring weht im Winde!
Schildkröte: Unsinn! Die Fahne ist Unmöglich, also kann sie nicht wehen. Der Wind weht. (In diesem Augenblick kommt Zeno des Wegs.)
Zeno:
Grüß Gott, äh – Zeus! Was gibt's denn Neu's?
Achilles: Die Fahne bewegt sich.
Schildkröte: Der Wind bewegt sich.
Zeno: Oh, Freunde, Freunde! Laßt ab von Euerm Zank! Keine Schmähwörter! Beendet Euern Hader, denn ich werde das Problem alsbald für Euch lösen. Ho! Und an einem so schönen Tag!
Achilles: Der Kerl spielt wohl den Narren.
Schildkröte: Nein, warten Sie, Achilles. Hören wir, was er dazu zu sagen hat. Unbekannter Herr, teilen Sie uns Ihre Gedanken zu dieser Angelegenheit mit!
Zeno: Aber gern. Nicht der Wind, nicht die Fahne – keins von beiden bewegt sich. Überhaupt nichts bewegt sich. Ich habe nämlich einen großen Lehrsatz entdeckt, welcher lautet: 'Motion Ist Immer Illusion.' Und aus diesem Satz ergibt sich ein noch größerer – Zenos Satz: 'Motion Unexistiert.'
Achilles: 'Zenos Satz?' Sind Sie etwa der Philosoph Zeno aus Elea?
Zeno: In der Tat bin ich's, Achilles.
Achilles (kratzt sich ratlos am Kopf): Woher weiß er denn meinen Namen?
Zeno: Könnte ich die beiden Herrschaften möglicherweise dazu bringen, mich zu Ende anzuhören, warum das der Fall ist? Ich bin heute nachmittag den ganzen Weg von Punkt A bis nach Elea gegangen und habe versucht, jemanden zu finden, der meiner messerscharfen Argumentation einige Aufmerksamkeit schenken würde. Doch die rennen alle hin und her und haben keine Zeit. Sie können sich nicht vorstellen, wie deprimierend es ist, einen Korb nach dem andern zu bekommen. Ach, es tut mir leid, Sie mit meinen Schwierigkeiten zu belästigen. Ich möchte nur eine Frage stellen: Würden die beiden Herrschaften einem alten einfältigen Philosophen für ein paar Augenblicke – nur ein paar, ich verspreche es – entgegenkommen und seine ausgefallenen Theorien mit Geduld ertragen?
Achilles: Aber sicher! Bitte erleuchten Sie uns! Ich weiß, daß ich für uns beide spreche. Mein Gefährte, Herr Schildkröte, sprach eben erst mit großer Verehrung von Ihnen – und er erwähnte insbesondere Ihre Paradoxien.
Zeno: Danke. Sehen Sie, mein Meister, der fünfte Patriarch, lehrte mich, daß die Wirklichkeit eine einzige ist, unbeweglich und unveränderlich. Pluralität, Veränderung und Bewegung sind lediglich Sinnestäuschungen. Einige haben sich über seine Ansichten lustig gemacht, aber ich werde zeigen, wie absurd ihr Spott ist. Mein Gedankengang ist ganz einfach. Ich werde ihn mit zwei Wesen, meiner eigenen Invention, illustrieren: Achilles, einem griechischen Krieger, dem Schnellfüßigsten aller Sterblichen, und einer Schildkröte. In meiner Erzählung lassen sie sich von einem Passanten dazu überreden, einen Wettlauf auf einer Piste auszutragen. Ziel ist eine Fahne, die in der Ferne im Winde weht. Nehmen wir an, daß die Schildkröte der um vieles langsamere Läufer ist und deshalb einen Vorsprung von, sagen wir, zehn Ruten erhält. Der Wettlauf beginnt. In ein paar Sprüngen hat Achilles den Punkt erreicht, an dem die Schildkröte startete.
Achilles: Hah!
Zeno: Und die Schildkröte ist nur noch eine einzige Rute vor Achilles. In einem Augenblick hat Achilles diesen Punkt erreicht.
Achilles: Hoho!
Zeno: Aber in diesem kurzen Augenblick ist die Schildkröte ein kleines Stückchen weiter gekommen. In Windeseile legt Achilles auch diese Strecke zurück.
Achilles: Hihihi!
Zeno: Aber in diesem kurzen Augenblick ist es der Schildkröte gelungen, ein winziges Stück vorwärtszukommen, und Achilles liegt noch immer hinten. Nun können Sie erkennen, daß dieses Spiel 'Versuch-mich-zu-fangen' eine UNENDLICHE Anzahl von Malen gespielt werden muß, wenn Achilles jemals die Schildkröte einholen soll – und deshalb kann er sie NIEMALs einholen.
Schildkröte: Heh heh heh heh!
Achilles: Hmm ... hmm ... hmm ... hmm ... hmm ... Da scheint etwas nicht zu stimmen. Und doch sehe ich nicht recht, was nicht stimmt.
Zeno: Eine harte Nuß, nicht? Es ist meine Lieblingsparadoxie.
Schildkröte: Verzeihen Sie, Zeno, aber ich glaube, daß Ihre Erzählung das falsche Prinzip illustriert. Sie haben uns soeben das beschrieben, was nach Jahrhunderten als Zenos 'Achilles-Paradoxie' bekannt sein wird und zeigt (hm!), daß Achilles die Schildkröte nie einholen wird; aber der Beweis, daß Motion Immer Illusion Ist (daß also Motion Unexiestiert), ist Ihre 'Dichotomie-Paradoxie', nicht wahr?
Zeno: Oh, ich Esel. Natürlich haben Sie völlig recht. Das ist diejenige, wie man, wenn man von A nach B geht, zuerst die erste Hälfte der Strecke zurücklegen muß und von der übrigbleibenden Strecke noch einmal die Hälfte usw. usw. Aber Sie sehen ja: beide Paradoxien haben eigentlich das gleiche Flair. Um es offen zu sagen, ich habe bloß eine einzige große Idee gehabt; ich beute sie nur auf verschiedene Arten aus.
Achilles: Ich schwöre, diese Beweisführungen enthalten eine schwache Stelle. Ich kann nicht ganz erkennen, wo, aber sie können nicht korrekt sein.
Zeno: Sie bezweifeln die Gültigkeit meiner Paradoxie? Warum versuchen Sie es nicht? Sehen Sie die rote Fahne da am andern Ende der Piste?
Achilles: Die Unmögliche Fahne, die auf einer Escher-Zeichnung beruht?
Zeno: Genau die. Wie wäre es, wenn Sie mit Herrn Schildkröte einen Wettlauf dorthin machten, wobei Herr S. einen fairen Vorsprung von – nun, ich weiß nicht ...
Schildkröte: Wie wäre es mit zehn Ruten?
Zeno: Gut, zehn Ruten.
Achilles: Jederzeit.
Zeno: Großartig! Wie aufregend! Ein empirischer Test meines rigoros bewiesenen Satzes! Herr S., wollen Sie sich zehn Ruten vor uns hinstellen? (Die Schildkröte geht zehn Ruten näher zur Fahne.) Sind Sie bereit?
Achilles und Schildkröte: Ja.
Zeno: Auf die Plätze! Fertig? Los!«

Diese Geschichte stammt leider nicht von mir. Sie ist aus Douglas R. Hofstadters (die einzige Biografie, die ich im Netz fand, ist italienisch Link ) berühmten Buch »Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band«, und zwar in der Originalschreibweise, in der so manches groß ist. Eine kurze Besprechung dieses Kultbuches gibt's unter Link , doch kann man die zitierte Story auch im Netz bei Wolfgang Fischer finden: Link . Dort gibt es zudem weitere Versionen dieses beliebten Themas, das ebenfalls Im Spiegel der Möglichkeiten aufgegriffen wird. -- Was die zitierte Story nicht erzählt, ist, was dann geschah: Überholt der Supermann den lahmen Panzer, wie uns die Alltagserfahrung lehrt (aber denken Sie daran, auch Naturgesetze sind nichts anderes als aus Erfahrung abgeleitete und in die Zukunft projizierte Erwartungen mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit), oder ist es so, wie es Zenons Logik scheinbar sehr schlüssig belegt?: Die Zeit, die Achill braucht, um den bisherigen Platz der Schildkröte, die einen Vorsprung hat, zu erreichen, kann die Schildkröte jeweils nutzen, diesen wieder zu verlassen. Die Abstände mögen sich unendlich annähern, doch immer behält die Lahme die Nase vorn.

In Ureda können Sie der Schildkröte Kassiopeia begegnen, mit ihr das Wettlaufexperiment praktizieren, sich aber auch philosophisch, logisch bzw. mathematisch aufklären lassen (Link und die Lösung bei Bernhard Berchtold Link ). Hat Bertrand Russel Recht, geht es um die schlechte Unendlichkeit, um Fragen der Logik, die immer Fragen des Systems sind, nicht nur des Problems. – Hier sei's genug, denn während Sie Hofstadters Geschichte gelesen haben, bin ich in Teilung der Unendlichkeit schon so weit enteilt, dass Sie mich ohnehin nicht mehr erreichen ...


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